La diversificación como expresión trigonométrica en la Teoría del Portafolio de Markowitz | Debate Económico 10

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Recibido: junio 2014

Aceptado: septiembre 2014

 Nota

La diversificación como expresión trigonométrica en la Teoría del Portafolio de Markowitz.

Miguel Ángel Pérez Fernández[1]

Resumen

La Teoría del Portafolio de Markowitz es un modelo utilizado para medir la relación entre rendimiento y volatilidad, con el fin de obtener ganancias dado un riesgo cuantificado, esto a partir de valores estadísticos; sin embargo, hasta el momento no se han determinado sus alcances desde el punto de vista trigonométrico, principalmente porque en términos de la distribución  normal todo queda en función de la varianza y la media, quedando de este modo la teoría sólo como un indicador de probabilidad de un solo activo con respecto al mercado; sin embargo, como se analiza, la regresión lineal utilizada por Markowitz, para su teoría, tiene también una explicación trigonométrica debido a que todo polinomio matemático tiene componentes geométricos, y de esta manera es posible calcular de forma eficiente la eficacia del mercado para invertir a un  determinado lapso de tiempo debido a que si se toma en conjunto los diversos portafolios,  éstos necesariamente forman ángulos que cambian con respecto al tiempo, mostrando de esta manera la estabilidad del mercado a fin de estimar si a futuro el precio de los valores se mantendrá al mismo precio o en su caso disminuirá o subirá de acuerdo a la probabilidad obtenida.

Es importante mencionar que tanto la teoría de Markowitz, así como la de Sharpe, tienen como fundamento el principio de mínimos cuadrados de línea recta, por ende, este polinomio de grado 1 tiene entre sus características el de calcular de forma directa el ángulo q que forman las tangentes al ir desplazándose con respecto al tiempo, por ende, mide la eficiencia del modelo de Markowitz de forma implícita, ya que a través de las pendientes generadas se establece la confiabilidad o la verdadera intención de medir lo que se pretende, además de que en la línea recta es donde no existen fluctuaciones de gran magnitud favoreciendo con esto mayor validez en la confiabilidad de los pronósticos, en comparación con modelos de grados superiores a 1 y la interpolación, los cuales por lo general pronostican caídas bruscas a consecuencia de que los exponentes elevan de forma súbita el precio de los valores, los cuales son interpretados como generadores de desequilibrios acelerados y por ende, no son fiables a la hora de especular ya sea a corto y menos aún a largo plazo, pues la interpretación de sus resultados generan pesimismo sobre el resultado en los rendimientos a lapsos de tiempos muy distantes, fenómeno que no ocurre con la regresión de línea recta ya que ésta al no tener máximo ni mínimo constituye un buen instrumento de confiabilidad, en virtud de que tampoco posee punto de inflexión, el cual determinaría que en el mercado habría períodos absolutos de pérdida o en caso contrario, ganancias sobre ganancias.

Palabras clave: Teoría del portafolio, rendimiento, volatilidad, acciones, método de mínimos cuadrados, regresión lineal, corto plazo, largo plazo, especulación, coeficiente b, pendiente m, función arctg (q).

Introducción

Hoy en día cuando se habla de negociación en el mercado financiero se realiza con mayor frecuencia con pronósticos que pretenden calcular con un grado “mínimo” de error el valor real a futuro de un determinado instrumento financiero. Un ejemplo de esto es la ecuación de Black&Scholes, cuyo propósito es valorar derivados financieros, ya que este método ha venido sustituyendo a las explicaciones causa–efecto, pues se pensaba que con una simple fórmula matemática era posible acertar valores exactos en el futuro. Sin embargo, hoy en día la percepción de la exactitud ha cambiado dado que es imposible dar con el valor real de un evento a futuro ya que a mayor lapso de tiempo es mayor la incertidumbre del precio real de una acción, de tal forma que posible mencionar que en el futuro existen riesgos desconocidos imponderables[2].

Esta forma de ver los sucesos en función de la variabilidad ha hecho que se centre cada vez más en modelos probabilísticos con el fin de aproximarse –ya no de acertar– a un valor en el futuro, en especial tratándose de plazos largos con respecto al tiempo en el ámbito financiero. Además de que los rendimientos obtenidos por la empresa no dependen de ella sino que dependen de la disminución de los riesgos discrecionales en el mercado, ya que éstos son quienes restan o aumentan el rendimiento empresarial, y no como consideraba Markowitz, ya que argumentaba que lo único variable es el rendimiento empresarial mientras que el mercado tenía un valor constante que no dependía del tiempo.

  1. Definición de diversificación

El efecto de la diversificación consiste en “distribuir el mayor número de activos en una cartera a fin de limitar la exposición de un riesgo en particular”,[3] entendido de forma tradicional puede sintetizarse como no meter todos los huevos en una sola canasta, pues se corre el riesgo de que en algún accidente se rompan todos los huevos, por lo que es recomendable ponerlos en diversas canastas, con el fin de que la probabilidad de que ocurra un accidente sea cada vez menor en la medida que existan un mayor número de canastas.

  1. Principio de diversificación de Markowitz

El principio de diversificación es antiguo; los ingleses y demás pueblos mercaderes distribuían sus mercancías en distintas embarcaciones a fin de no perder toda su propiedad en caso de hundimiento de alguna embarcación;[4] sin embargo, esta teoría expresada cualitativamente no estaba sistematizada de una forma cuantitativa, no ocurre sino hasta 1959 cuando Harry Markowitz publicó un artículo titulado Portfolio selection: efficient diversification of investments, en donde se proponían diversas alternativas de cuantificar el riesgo. Entre las premisas de su teoría está el supuesto de que para poder cuantificar la exposición al riesgo era necesario que estuviera en términos de un rendimiento promedio (media aritmética) así como de la volatilidad (desviación estándar), de esta manera demuestra que los rendimientos observan una distribución simétrica –o gaussiana–, cuyo efecto en el rendimiento en el promedio consiste en la muy conocida regresión a la media.

Otros principios que cita Markowitz se relacionan con un solo tipo de activos que son las acciones, además de que si un inversionista está en la posibilidad de elegir entre dos activos, ambos con igual rendimiento, pero con distinta volatilidad, éste elegirá la de menor riesgo; sin embargo, si se presentan dos activos con igual volatilidad pero con diferente rendimiento, entonces, él elegirá el que mayor rendimiento le proporcione.[5] En relación al grado de consistencia entre las variables volatilidad versus rendimiento esperado propone su medición a través de un coeficiente de correlación que varía desde -1 a 1 estableciendo los criterios siguientes:

 

Donde:

Si r = -1 implica que los rendimientos de los dos activos tienen una correlación con pendiente negativa, lo que significa que a medida que uno de ellos decrece, el otro crece en la misma proporción.

Si r = 0 implica que los rendimientos de los activos no mantienen relación alguna.

Si r = +1 implica que los rendimientos de los dos activos tienen una correlación con pendiente positiva, lo que significa que a medida que uno de ellos crece, el otro lo hace en la misma proporción.

Markowitz en su obra anteriormente citada, propone que para medir el rendimiento esperado y su volatilidad es necesario contar con sólo los parámetros de media y desviación estándar, así en esta obra señala que las ecuaciones son:

O dicho de otra manera:

 

Esto implica que para el cálculo de la volatilidad o riesgo hay necesariamente primero que calcular el rendimiento esperado, posteriormente en función de ésta se evalúa la desviación estándar recurriendo también al concepto de correlación (r) como una medida para hallar dicha relación, pues como se mencionó anteriormente dado un valor rho (r) es posible hallar la relación entre las variables estudiadas.

 

Por lo tanto, la Teoría del Portafolio de Markowitz descansa sobre un modelo general aplicable para medir situaciones de rendimiento y riesgo a largo plazo con una certidumbre confiable ya que entre uno de los postulados indica que mientras menores sean las correlaciones entre los activos que compongan el portafolio menor será el riesgo. En otras palabras, que un rho (r)  con valor absoluto de -1 es la mejor opción entre todas para anular todo el riesgo presentado, en tanto que si presenta un valor máximo absoluto de +1 entonces al ser los activos directamente proporcionales, la diversificación no va a eliminar ningún riesgo, de tal manera que el resultado de la correlación para ser fiable no debe caer en los términos absolutos de [-1:+1], lo cual permite entender que este modelo de portafolio al darle a la proporcionalidad un nulo efecto sobre el riesgo, parte del principio de regresión lineal sobre un determinado número de acciones como se explicará a continuación a través de la figura 1.

Según la Teoría del Portafolio de Markowitz, las fronteras eficientes como la curva BC tienen pendientes positivas (m>0) en tanto que las fronteras ineficientes como la curva AB tienen pendientes negativas (m<0); no obstante, en cuanto al efecto de la diversificación, ésta no elimina ningún riesgo en la medida que el coeficiente de correlación rho (r) va tendiendo a su valor máximo que es +1, lo cual implica geométricamente que se trata de una ecuación de línea perfecta ajustada a todo el conjunto de acciones. En términos financieros significa que todas las acciones se comportan como si fueran una sola, dado que poseen un valor directamente proporcional (recta AB’C).

 

A
s [%]
r = -1
r = 0
r = +1
[%]

 

Figura 1
B
C
B’

Fuente: www.econ.uba.ar/./Analisis%20de%20carteras%20de%20Inversion.pps. Pág. 10.

 

Figura 1: Según la teoría de Markowitz, cuando la correlación es perfectamente negativa (r = -1), lo que se obtiene es el arco ABC, en tanto que se aproxima a una correlación nula  (r = 0), el arco ABC comienza a linealiarze, de tal manera que al llegar a una correlación perfectamente positiva (r = +1), el arco ABC se convierte en la línea AB’C.

 

Así, este método probabilístico parte de lo que en matemáticas se conoce como recta de regresión, la cual es obtenida a través de graficar los puntos riesgo contra el rendimiento esperado P(s, ), de tal manera que se pueda encontrar la mejor recta ajustada sobre un conjunto de puntos dados; sin embargo, “a toda medición corresponde un error”, por lo que es necesario cuantificar el error, estableciendo así que el valor total es la suma de un valor real más el error , a este error Markowitz lo denominó “riesgo sistemático”, en tanto que aquel que puede ser manipulado lo llamó “riesgo diversificado”.

 

Propiedades trigonométricas en la Teoría del Portafolio de Markowitz

Anteriormente se mencionó que la Teoría de Markowitz ofrece resultados de diversificación a través de los parámetros de la distribución gaussiana que son el rendimiento esperado y el riesgo P(s, ), este enfoque ofrece desventajas en el hecho de que sólo indica la posibilidad de obtener rendimientos partiendo de la premisa “a mayor riesgo, mayor rendimiento”, sin embargo, esta teoría no ofrece un indicador que permita visualizar si en un determinado tiempo es propicio arriesgarse con el fin de obtener máximos rendimientos, o en caso contrario, las situaciones desfavorables en el mercado que harán mermar los rendimientos empresariales.

M
Figura 2
q

Cuando se pretende ver una teoría de especulación sólo en términos de rendimientos y riesgos, se descuida la parte más importante que es la situación del mercado, que es quien determina las ganancias en los rendimientos, o en caso contrario, las pérdidas sufridas, por lo cual es necesario recurrir a un coeficiente que mida su consistencia a través del tiempo, partiendo de las premisas que dan origen a un mercado eficiente, para lo cual los parámetros sigma (s) y mu (m) carecen de trascendencia, fenómeno que no sucede si en lugar de utilizar la Teoría “tradicional” de Markowitz, se utilizara el componente geométrico que ésta tiene implícitamente (véase Fig. 2).

Fuente: elaboración propia

Las ecuaciones que ofrecen este tipo de abordaje se encuentran en el principio de mínimos cuadrados que son las siguientes:

Donde b es el coeficiente beta propuesto por Sharpe y a la ordenada con respecto al Mercado (M).

Resolviendo matricialmente se obtienen los siguientes resultados:

 

De las ecuaciones anteriores, la que determina el ángulo de medición con respecto al Mercado es el coeficiente b, de ahora en adelante llamado coeficiente alef (א) para diferenciarla del coeficiente beta (b) de Sharpe, que como se sabe es una extensión de la Teoría de Markowitz, con la única diferencia que en esta última el Mercado se supone es absoluto y por ende no cambian sus condiciones con respecto al tiempo, no así en la Teoría de Sharpe, donde tanto los valores de la Empresa y los del Mercado son variables.

 

Desde un enfoque trigonométrico, la Teoría del Portafolio de Markowitz, además de medir el rendimiento de la Empresa con respecto al Mercado, permite ver la consistencia de ésta (si presenta cualidades de un mercado eficiente en el tiempo analizado para invertir), a fin de poder anticipar si a un determinado plazo es conveniente dejar de arriesgarse en este lapso de tiempo, ya que de no hacerlo así, la Empresa perdería recursos.

 

Para este estudio no es necesario hablar de las propiedades del Modelo de Valuación de Activos de Capital (CAPM), dado que éstas son unidades porcentuales de medición de riesgos dado un portafolio de inversión, este modelo tiene la desventaja de que se basa principalmente en ajustar una línea recta a un conjunto determinado de puntos y tomar de allí sus interpretaciones, motivo por el cual constantemente hay que ajustar el coeficiente beta (b) al introducir un nuevo dato, por ende no es confiable para medir situaciones a largo plazo por los constantes ajustes que tienen que efectuarse con respecto al tiempo, en adición de que el resultado final de sumar el coeficiente beta unitario (b) por el rendimiento del Mercado hay que agregar el valor inicial del valor del Mercado, pero como se han realizado ajustes con anterioridad  ya no es confiable para pronosticar valores a futuro para así tomar la decisión de arriesgarse o no cuando el Mercado sufre fluctuaciones tanto positivas como negativas.

En tanto que el coeficiente alef (א) no depende de los valores iniciales del mercado (coeficiente a en el método de regresión lineal), sino que sólo depende del ángulo que presenta sin importar tampoco el signo, ya que la función tangente tan (q), es una relación consistente entre los valores independientes y dependientes, de ahí su confiabilidad al utilizarla en un instrumento que pretenda medir si el mercado en un determinado momento de tiempo cumple con las condiciones de un mercado eficiente.

  1. Los ángulos como indicadores de riesgo respecto al Mercado

La Teoría del Portafolio de Markowitz puso énfasis en el valor del coeficiente de correlación (r) – Sharpe lo hizo en su coeficiente beta (b) – para determinar qué tanto se elimina el error sistemático (e) sin poner énfasis en la relación que le permita a la empresa arriesgar más en el mercado para obtener rendimientos más altos; sin embargo, esto se puede inferir y medir a través del valor de los ángulos generados por las rectas tangentes que se van distribuyendo a lo largo de la curva ABC, ya que en la medida que aumenta el riesgo y por tanto el rendimiento, el valor del arco de la tangente q  va disminuyendo (Fig. 3), por ejemplo, si r = +1 implicaría que el ángulo de la pendiente (m) es igual a 45º, lo cual significaría que los rendimientos de la Empresa y el Mercado son los mismos, lo cual supuso la Teoría de Markowitz.

Desde el punto de vista matemático, se puede entender a la recta tangente (tan) o pendiente (m) como “la variación que sufre la variable dependiente con respecto a una variable independiente”. Expresado quedaría de la siguiente forma:

Como puede verse, el máximo grado de rendimiento de la Empresa se logra en los primeros puntos de la curva BC donde las pendientes (m) pasan de negativas a positivas. El punto B es el máximo valor en el cual el rendimiento de la empresa obtiene ganancias muy superiores al del mercado al producirse una línea recta completamente vertical (ángulo de 90º) y va disminuyendo en la medida que se acerca al punto C, ya que es aquí donde en caso de una correlación r = +1 los rendimientos representan la unidad. De igual manera para los ángulos generados en la curva AB, en la medida que se acercan al punto B tienen mayor pendiente, por consiguiente los rendimientos empresariales van superando a los del mercado, quedando así demostrado la afirmación de Markowitz, que en la medida que r  tiende a -1, disminuye el riesgo sistemático (e).

B
s
A
C
Figura 3

Fuente: elaboración propia

 

Aplicaciones cuantitativas

El cálculo de la tangente (q) se calcula en función de la pendiente m, que posteriormente se le denotará como coeficiente alef (א):

 

 

Esta forma de evaluar portafolios tiene la propiedad que considera todos los portafolios como si fueran un todo en general, es decir, no mide de manera probabilística cada una de sus partes, lo cual otorga mayor fiabilidad, pues además de indicarnos si conviene o no invertir en un determinado tiempo, nos da a través de la medición del ángulo theta (q) la consistencia histórica del mercado – o prueba de que el Mercado ha cumplido con su condición de eficiente – pues si esto ocurre, da tranquilidad al inversor de poder arriesgar más para obtener mayores rendimientos.

  1. Demostración

Para demostrar cómo la Teoría del Portafolio de Markowitz en términos geométricos de tangente (coeficiente alef (א)) puede calcular la confiabilidad del valor consistente de las acciones, basta con considerar el comportamiento del precio de cierre de la empresa IBM durante los primeros 8 meses del 2014, se considera que la variable independiente es la fecha mensual, en tanto que el precio de cierre es la variable dependiente. Los datos se muestran en el anexo 1.

La Teoría del portafolio de Markowitz nos indica mediante el valor de la pendiente (m) que el ángulo generado por una pendiente de 1.1437 es de 49º, lo cual implica que el valor de las acciones va a ser consistente con la tendencia a subir su precio durante los siguientes meses.

Como puede observarse el valor del ángulo q implícito en la Teoría del Portafolio predice de forma confiable el valor de las acciones para los siguientes meses, pues la pendiente m cuyo valor es de 1.1437 implica que existe una alta consistencia en los valores interpolados de la tabla 1, la predicción obtenida a través de los resultados de la tabla 1 demuestra que la Teoría del Portafolio de Markowitz pronostica valores consistentes con respecto al tiempo, por ende, se observa que este modelo predice eficientemente valores y por tanto “mide lo que debe medir”.

Cabe mencionar que los alcances de esta herramienta también son funcionales para un análisis longitudinal debido a que como se mencionó anteriormente, los ángulos medidos a través de la función tangente no están en función de los signos que poseen los valores numéricos, sino que mediante el propio valor cuantitativo predice de forma confiable el valor del mercado de una acción a través de una gráfica generada.

En cuanto a los parámetros para saber si conviene o no arriesgarse, es importante considerar los siguientes casos:

Caso Interpretación
א <1 Los precios de esa acción son menos sensibles a cambios en el mercado, por ende los inversionistas no deben de arriesgarse en el mercado, pues obtienen pérdidas.
א >1 Los precios de dicha acción son más sensibles al riesgo del mercado y por tanto, los inversionistas podrán exigir mayores rendimientos.
א =1 Equilibrio perfecto: sin pérdidas ni ganancias.

Fuente: elaboración propia

  1. Consistencia interna del Mercado a mediano y largo plazo

Los alcances del coeficiente alef (א) pueden también aplicarse para períodos considerados como de “mediano o largo plazo” a fin de determinar la confiabilidad del mercado para que de esta manera el inversor pueda arriesgar confiablemente dado que el rendimiento empresarial superaría al del mercado, el cual es fácilmente visible al utilizar esta función trigonométrica dado que el valor numérico da el cociente con el cual es posible determinar si conviene o no arriesgarse con el fin de obtener rendimientos, esto sin importar si se toman los precios iniciales como los últimos y viceversa, puesto que lo único que se altera es el signo, lo cual se aprecia en el anexo 2.

Para el período de estudio (T) comprendido de 5 años divididos mensualmente, dio como resultado la razón de 132/100, indicando que el rendimiento del Mercado es inferior al rendimiento de la empresa; esto se aprecia en que el precio del cierre no presenta ciclos de crecimiento/decrecimiento bruscos con lo cual el inversor en función del resultado arrojado por la tangente concuerda: ya que es superior a 1, por ende, para aquellos inversores que tengan acciones en IBM pueden confiar que esta empresa les ofrecerá rendimientos superiores con baja probabilidad en el riesgo de perder.

 

Precios de cierre mensual de IBM durante los años 2010 – 2014

Conclusión

La relación trigonométrica coeficiente alef (א) expresada a través de las pendientes (m), permite calcular la confiabilidad de los pronósticos del valor de las acciones con respecto al tiempo, debido principalmente que el ángulo expresado por el coeficiente (א  = m)  expresado en la teoría de Markowitz –  muestra la sensibilidad de las variaciones de los rendimientos empresariales en función de los del mercado.

Este índice por tanto es un instrumento que permite medir la validez de la medición de los pronósticos en un determinado tiempo; que a diferencia del método de Sharpe, no se necesita estar monitoreando los cambios que se presentan en los datos a fin de que el modelo no pierda predictividad en un futuro, ya que posibles alzas o bajas en el precio de las acciones van desajustando el valor del coeficiente b, por ende, siempre es necesario al utilizar este método monitorear constantemente su valor debido a que no prevé cambios extremadamente bruscos en los valores reales de las acciones, por tanto ante estos cambios inesperados puede llegar a proyectar valores inciertos y con alto riesgo en el futuro.

No así sucede, si en vez de medir el coeficiente de Sharpe, se utiliza como único parámetro el valor del ángulo tangencial (q), el cual mide la consistencia interna del mercado para medir el riesgo de invertir o no; pues hay que recordar que hasta el momento no existe un modelo certero a largo plazo que permita prever situaciones desfavorables a futuro.


Tabla 1: Precio mensual de cierre de las acciones de IBM durante enero a agosto del 2014 (medido en USD)  
Date Open High Low Close Avg Vol Adj Close
Jan 2, 2014 187.21 190.81 175.34 176.68 6,127,700 173.67
Feb 3, 2014 176.02 186.12 172.19 185.17 4,827,500 183.02
Mar 3, 2014 183.33 195.63 182.21 192.49 6,072,400 190.25
Apr 1, 2014 193.12 199.21 187.01 196.47 5,840,600 194.18
May 1, 2014 196.31 196.74 182.33 184.36 3,554,200 183.28
Jun 2, 2014 184.76 187.65 179.27 181.27 3,939,300 180.20
Jul 1, 2014 181.70 196.40 181.70 191.67 4,627,500 190.54
Aug 1, 2014 190.50 194.13 183.58 192.30 2,683,300 192.30

Fuente: http://finance.yahoo.com/q/hp?s=IBM&a=00&b=1&c=2014&d=07&e=31&f=2014&g=m

TABLA 2: Precio mensual de cierre de las acciones de IBM durante  los años 2010-2014 (ejercicios completos) (precios en USD)

Date Open High Low Close Volume Adj Close
01/12/2014 161.64 164.52 150.50 160.44 4799700 160.44
03/11/2014 164.25 164.97 159.80 162.17 4337700 162.17
01/10/2014 189.91 190.89 161.10 164.40 6611800 163.28
02/09/2014 192.68 195.00 188.12 189.83 3195800 188.54
01/08/2014 190.50 194.13 183.58 192.30 2684000 190.99
01/07/2014 181.70 196.40 181.70 191.67 4627500 189.25
02/06/2014 184.76 187.65 179.27 181.27 3939300 178.98
01/05/2014 196.31 196.74 182.33 184.36 3554200 182.03
01/04/2014 193.12 199.21 187.01 196.47 5840600 192.86
03/03/2014 183.33 195.63 182.21 192.49 6072400 188.96
03/02/2014 176.02 186.12 172.19 185.17 4827500 181.77
02/01/2014 187.21 190.81 175.34 176.68 6127700 172.49
02/12/2013 179.46 187.79 172.73 187.57 4838700 183.12
01/11/2013 179.81 186.24 177.31 179.68 5192700 175.42
01/10/2013 185.34 186.99 172.57 179.21 5881900 174.03
03/09/2013 183.63 194.89 182.31 185.18 3773300 179.82
01/08/2013 196.65 197.17 181.10 182.27 3445800 177.00
01/07/2013 192.15 200.94 190.26 195.04 4176700 188.46
03/06/2013 208.25 210.05 188.41 191.11 4513500 184.66
01/05/2013 201.87 211.98 199.20 208.02 4346900 201.00
01/04/2013 212.80 214.89 187.68 202.54 5282100 194.79
01/03/2013 200.65 215.9 199.36 213.30 3988600 205.14
01/02/2013 204.65 205.35 197.51 200.83 3622800 193.15
02/01/2013 194.09 208.58 190.39 203.07 4320300 194.48
03/12/2012 190.76 196.45 186.94 191.55 4200200 183.45
01/11/2012 194.68 198.00 184.78 190.07 4134700 182.03
01/10/2012 208.01 211.79 190.56 194.53 4867000 185.49
04/09/2012 196.61 208.32 193.25 207.45 4329000 197.81
01/08/2012 196.96 202.00 193.02 194.85 2775900 185.80
02/07/2012 196.36 197.84 181.85 195.98 4524900 186.08
01/06/2012 190.12 199.99 187.00 195.58 4277000 185.70
01/05/2012 207.18 208.93 192.00 192.90 4331400 183.16
02/04/2012 208.96 210.69 196.79 207.08 4468800 195.80
01/03/2012 197.23 209.12 196.81 208.65 4150500 197.28
01/02/2012 193.21 199.23 190.83 196.73 4196300 186.01
03/01/2012 186.73 193.10 177.35 192.60 5742000 181.40
01/12/2011 187.01 194.90 179.04 183.88 5093600 173.19
01/11/2011 181.55 189.97 177.06 188.00 4992900 177.07
03/10/2011 174.36 190.53 168.88 184.63 7108200 173.20
01/09/2011 172.71 180.91 158.76 174.87 6938200 164.04
01/08/2011 182.60 183.69 157.13 171.91 8744700 161.27
01/07/2011 171.61 185.63 171.49 181.85 6012900 169.85
01/06/2011 168.90 172.45 161.52 171.55 5024800 160.23
02/05/2011 172.11 173.54 165.90 168.93 5710800 157.78
01/04/2011 163.70 173.00 162.19 170.58 5317800 158.62
01/03/2011 163.15 167.72 151.71 163.07 5807600 151.63
01/02/2011 162.11 166.25 159.03 161.88 4938900 150.53
03/01/2011 147.21 164.35 146.64 162.00 6301400 150.04
01/12/2010 143.61 147.5 143.51 146.76 4380100 135.93
01/11/2010 143.64 147.53 141.18 141.46 5322400 131.02
01/10/2010 135.51 144.00 134.39 143.60 6939200 132.41
01/09/2010 125.31 136.11 124.52 134.14 5834200 123.69
02/08/2010 129.25 132.49 122.28 123.13 5591700 113.54
01/07/2010 123.55 131.60 120.61 128.40 7147600 117.81
01/06/2010 124.69 131.94 122.82 123.48 7728900 113.30
03/05/2010 129.39 133.10 116.00 125.26 9793300 114.93
01/04/2010 128.95 132.28 127.12 129.00 7271100 117.76
01/03/2010 127.50 130.73 125.20 128.25 6300000 117.08
01/02/2010 123.23 128.27 121.61 127.16 6210200 116.08
04/01/2010 131.18 134.25 121.90 122.39 8825300 111.23

Fuente: https://mx.finanzas.yahoo.com/q/hp?s=IBM&a=00&b=1&c=2010&d=11&e=31&f=2014&g=m

 

 

 

 

 

 

 

Referencias

 

[1] Maestro en Finanzas por la Facultad de Contaduría y Administración de la UNAM

[2] Se entiende por imponderable  a los activos que no pueden estimarse mediante métodos probabilísticos.

[3] Bodie, Zvi: “Principios de Inversiones”. Mc. Graw-Hill. 5ª. Edición. España. Pág. 8.

[4] Fuente: http://www.ejournal.unam.mx/rca/195/RCA19503.pdf

[5] Fuente: Markowitz, Harry: “Portfolio selection”. 1952. Página 3. Texto en formato digital extraído de: https://www.math.ust.hk/…/07F/markowitz_JF.pdf

[6] Ídem. Pág. 4.

[7] Ibídem. Pág. 5

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